Giả thuyết Beal

Giả thuyết Beal là một giả thuyết trong lý thuyết số:

Nếu:

A^x+B^y=C^trong đó A; B; C; x; y; là các số nguyên dương với x;y; z> 2

Thì:

A; B; C có ước nguyên tố chung.
 

Tỉ phú, chủ ngân hàng Andrew Beal khám phá ra giả thuyết này vào năm 1993 trong khi đang nghiên cứu các dạng tổng quát hóa của định lý Fermat lớn. Sau đó, giả thuyết này lại được đưa ra một cách độc lập bởi Robert Tijdeman và Don Zagier. Giả thuyết Beal là cái tên thường được nhắc đến hơn, tuy nhiên cũng có bài báo được công bố sử dụng tên “giả thuyết Tijdeman-Zagier”. Năm 1950, L. Jesmanowicz và Chao Ko cũng đã xét tới bài toán này nhưng với thêm một ràng buộc là A^2+B^2=C^2.
Ban đầu, năm 1997, Beal treo giải thưởng 5,000USD cho người chứng minh được hoặc đưa ra phản ví dụ cho giả thuyết này và công bố trên một tạp chí có uy tín, 10 năm sau, giải thưởng được tăng lên thành 50,000USD, và tới nay nó đã lên đến 1,000,000USD.

 

Một số ví dụ liên quan:
Để minh họa, ta có thể thấy rằng nghiệm 3^3+6^3=3^5 có các cơ số có chung ước nguyên tố 3, nghiệm 7^3+7^4=14^3 có các cơ số có chung ước nguyên tố 7, và 2^n+2^n=2^n+1 có các cơ số có chung ước nguyên tố 2. Thực ra phương trình này có vô số nghiệm khi các cơ số có chung ước nguyên tố, bao gồm cả các dạng tổng quát của các ví dụ trên, lần lượt là:

3^3n+[2(3n)]^3=3^3n+2,n1
(a^n1)^2n+(a^n1)^2n+1=[a(a^n1)2]^n,a2,n3
[a(a^n+b^n)]^n+[b(a^n+b^n)]^n=(a^n+b^n)^n+1;a,b≥1,n≥3

Hơn nữa, với mỗi nghiệm (các cơ số không nhất thiết có ước nguyên tố chung), có vô số nghiệm với cùng bộ số mũ. Cụ thể, với nghiệm:

A1^x+B1^y=C1^z

Ta cũng sẽ có:

An^x+Bn^y=Cn^z

trong đó:

An=(An−1^yz+1)(Bn−1^yz)(Cn−1^yz)
Bn=(An−1^xz)(Bn−1^xz+1)(Cn−1^xz)
Cn=(An−1^xy)(Bn−1^xy)(Cn−1x^y+1)

Mỗi bộ số nghiệm đúng giả thuyết Beal đều bao gồm 3 số mà mỗi số đều là số 3-powerful, các số mà lũy thừa của mỗi ước nguyên tố trong phân tích tiêu chuẩn của nó đều không nhỏ hơn 3. Ta đã biết rằng có vô hạn các tổng như vậy và bao gồm 3 số nguyên tố cùng nhau, tuy nhiên những tổng như vậy rất “hiếm”. Hai ví dụ nhỏ nhất đó là:

271^3+2^3*5^5*73^3=919^3=776,151,559
3^4*29^3*89^3+7^3*11^3*167^3=2^7*5^4&353^3=3,518,958,160,000

Tuy nhiên điều khác biệt ở giả thuyết Beal đó là nó yêu cầu mỗi số trong 33 số đều phải viết được dưới dạng một lũy thừa của một số nguyên.
Mối liên hệ với một số giả thuyết khác:
Định lý Fermat lớn nói rằng A^n+B^n=C^n không có nghiệm với n>2 và A;B;C nguyên dương. Nếu phương trình này có nghiệm, thì ta có thể chia cả 3 số cho tất cả các ước chung của chúng, ta sẽ được bộ ba số thỏa phương trình và nguyên tố cùng nhau, trái vơi giả thuyết Beal. Do vậy, định lý Fermat lớn có thể xem như trường hợp đặc biệt của giả thuyết Beal khi x=y=z
Giả thuyết Fermat – Catalan nói rằng A^x+B^y=C^z chỉ có hữu hạn nghiệm với A;B;C là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau còn x; y; z là các số nguyên dương thỏa mãn 1/x+1/y+1/z<1. Giả thuyết Beal có thể được phát biểu lại thành “Tất cả các nghiệm của giả thuyết Fermat – Catalan đều có một số có số mũ là 2”.
Từ giả thuyết abc có thể suy ra chỉ tồn tại một số hữu hạn các phản ví dụ cho giả thuyết Beal.
Một số kết quả:
Trong những trường hợp mà đúng với số mũ bằng 2 thì cũng đúng với số mũ là một bội số của 2, bởi vì chúng đều là bình phương của một số nguyên dương.
– Trường hợp x=y=zchính là định lý Fermat lớn, được chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1994.
– Trường hợp gcd(x,y,z)>2 (ước chung lớn nhất của ba số lớn hơn 2) được suy ra từ định lý Fermat lớn.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;4;4được chứng minh là vô nghiệm bởi Pierre de Fermat vào những năm 1600.
– Trường hợp y=z=đã được chứng minh đúng với mọi x.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;3;7và các hoán vị của nó đã được chứng minh là chỉ có 4 nghiệm, không có nghiệm nào bao

gồm một số mũ chẵn lớn hơn 2, được chứng minh bởi  Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer và Micheal Stoll vào năm 2005.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;3;8) và các hoán vị chỉ có 3 nghiệm, không có nghiệm nào bao gồm một số mũ chẵn lớn hơn 2.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;3;9) và các hoán vị chỉ có 2 nghiệm, không có nghiệm nào bao gồm một số mũ chẵn lớn hơn 2.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;3;10) được chứng minh bởi David Brown vào năm 2009.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;3;15) được chứng minh bởi Samir Siksek và Micheal Stoll vào năm 2013.
– Trường hợp (x;y;z)=(2;4;n) được chứng minh cho mọi n4n≥4 bởi Micheal Bennet, Jordan Ellenberg và Nathan Ng

vào năm 2009.
– Trường hợp (x;y;z)=(n;n;2) đã được chứng minh đúng với mọi số nguyên dương n khác 3 và các lũy thừa của 2.
– Trường hợp (x;y;z)=(n;n;3) đã được chứng minh.
– Trường hợp (x;y;z)=(3;3;nđược chứng minh cho n bằng 4, 5 hoặc 17n1000017≤n≤10000.
– Trường hợp (5;5;7), (5;5;19) và (7;7;5) được chứng minh bởi Sander R. Dahmen và Samir Siksek vào

năm 2013.
– Trường hợp A=được suy ra từ giả thuyết Catalan, được chứng minh vào năm 2002 bởi Preda Mihăilescu.
Peter Norvig, giám đốc nghiên cứu tại Google, đã thực hiện một chuỗi các phép tìm kiếm để tìm phản ví dụ cho giả thuyết Beal. Trong kết quả của mình, ông đã loại trừ được tất cả các nghiệm có x; y; z7 và A; B; C250,000 cũng như x; y; z100 và A; B; C10,000.
Một số biến thể không hợp lệ:
Các phản ví dụ 7^3+13^2=2^1^m+2^3=3^cho thấy rằng giả thuyết sẽ trở thành không đúng nếu như số mũ được phép bằng 2. Giả thuyết Fermat – Catalan là một giả thuyết mở có thể xét tới trường hợp này.
Một biến thể khác yêu cầu x; y; z (thay vì A; B; C) phải có ước nguyên tố chung là giả thuyết sai. Một phản ví dụ cho điều này là 274+1623=97274+1623=97, trong đó 4;3;74;3;7 không có ước nguyên tố chung. (Thực ra ước nguyên tố chung lớn nhất của các số mũ chỉ có thể là 2, nếu chúng có một ước chung lớn hơn 2 thì đó sẽ là một phản ví dụ cho định lý Fermat lớn).
Giả thuyết cũng không còn đúng trong miền xác định lớn hơn của các số nguyên Gauss (các số phức với phần thực và phần ảo là các số nguyên).

Sau khi giải thưởng $50 \text{USD}$ được công bố trao cho người tìm được phản ví dụ, Fred W. Helenius đã chỉ ra:

(2+i)3+(2i)3=(1+i)4(−2+i)3+(−2−i)3=(1+i)4

 

Đây là một trong các sản phẩm của nhóm chuyên san EXP, trực thuộc CLB học thuật, khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp. Hồ Chí Minh. Trong hơn 3 năm qua nhóm chúng tôi đã thực hiện các dự án quy mô nhỏ nhằm cải thiện tình trạng giáo dục Việt Nam, hút lại chất xám từ nước ngoài trở về, và hiện đại hóa các công cụ Toán học trong nước.

Bài viết này được dịch từ http://en.wikipedia….al’s_conjecture

Theo diendantoanhoc.net

Advertisements

Posted on March 12, 2016, in Toán học. Bookmark the permalink. Leave a comment.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: